向量基础
- 1、向量和线性组合
- 2、向量的模和点乘
- 3、矩阵
- 4、参考
性代数的核心是向量的加和乘两种运算的组合，本篇博客为线性代数的一个引子，主要从向量、线性组合和矩阵逐步引出线性代数的相关知识。
1、向量和线性组合
首先介绍的是向量相关，向量是基础。
已知列向量： υ = [ v 1 v 2 ] \boldsymbol{\upsilon}=\left[\begin{matrix} v_1 \\ v_2\end{matrix} \right] υ=[v1v2]， ω = [ w 1 w 2 ] \boldsymbol{\omega}=\left[\begin{matrix} w_1 \\ w_2\end{matrix} \right] ω=[w1w2]；
向量加法： υ + ω = [ v 1 + w 1 v 2 + w 2 ] \boldsymbol{\upsilon}+\boldsymbol{\omega}=\left[\begin{matrix} v_1+w_1 \\ v_2+w_2\end{matrix} \right] υ+ω=[v1+w1v2+w2]；
纯量乘法： c υ = [ c v 1 c v 2 ] c\boldsymbol{\upsilon}=\left[\begin{matrix} cv_1 \\ cv_2\end{matrix} \right] cυ=[cv1cv2]， c c c是标量；
线性组合：我们将 υ \boldsymbol{\upsilon} υ和 ω \boldsymbol{\omega} ω的加法运算和标量乘法运算结合起来，得到的结果称为 υ \boldsymbol{\upsilon} υ和 ω \boldsymbol{\omega} ω的线性组合，即 c υ + d ω c\boldsymbol{\upsilon}+d\boldsymbol{\omega} cυ+dω。
两个向量的线性组合就是线性代数的最简单的形式。
下图展示了向量加法的结果：
Tip：列向量 υ = [ a b c ] \boldsymbol{\upsilon}=\left[\begin{matrix} a \\ b \\ c\end{matrix} \right] υ=⎣⎡abc⎦⎤也可以写为 υ = ( a , b , c ) \boldsymbol{\upsilon}=( a , b , c ) υ=(a,b,c)，这两种形式都是表示列向量，后一种可以节约书写空间。另外，行向量表示为 υ = [ a , b , c ] \boldsymbol{\upsilon}=[ a , b , c ] υ=[a,b,c]，平躺着并用方括号表示。
2、向量的模和点乘
点乘（内积）：点乘为两个向量对应位置上元素乘积的和。
向量 υ = ( v 1 , v 2 , v 3 , . . . , v n ) \boldsymbol{\upsilon}=( v_1 , v_2 , v_3,...,v_n ) υ=(v1,v2,v3,...,vn)和向量 ω = ( w 1 , w 2 , w 3 , . . . , w n ) \boldsymbol{\omega}=( w_1 , w_2 , w_3,...,w_n ) ω=(w1,w2,w3,...,wn)的点乘表示为：
υ ⋅ ω = v 1 w 1 + v 2 w 2 + . . . + v n w n \boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\omega}=v_1w_1+v_2w_2+...+v_nw_n υ⋅ω=v1w1+v2w2+...+vnwn
向量 υ = ( v 1 , v 2 , v 3 , . . . , v n ) \boldsymbol{\upsilon}=( v_1 , v_2 , v_3,...,v_n ) υ=(v1,v2,v3,...,vn)和其自身的点乘为：
υ ⋅ υ = v 1 2 + v 2 2 + . . . + v n 2 = ( v 1 − 0 ) 2 + ( v 2 − 0 ) 2 + . . . + ( v n − 0 ) 2 \boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\upsilon}=v^2_1+v^2_2+...+v^2_n=(v_1-0)^2+(v_2-0)^2+...+(v_n-0)^2 υ⋅υ=v12+v22+...+vn2=(v1−0)2+(v2−0)2+...+(vn−0)2
向量的长度（模）
则在 n n n维坐标系中， υ ⋅ υ \boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\upsilon} υ⋅υ表示点 ( v 1 , v 2 , v 3 , . . . , v n ) ( v_1 , v_2 , v_3,...,v_n) (v1,v2,v3,...,vn)到坐标原点的距离的平方，即向量 υ \boldsymbol{\upsilon} υ的长度的平方，所以向量 υ \boldsymbol{\upsilon} υ的长度为：
l e n g t h = ∥ υ ∥ = υ ⋅ υ = ( v 1 2 + v 2 2 + . . . + v n 2 ) 1 / 2 \mathbf{length}= \left \|\boldsymbol{\upsilon}\right\|=\sqrt{\boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\upsilon}}=(v^2_1+v^2_2+...+v^2_n)^{1/2} length=∥υ∥=υ⋅υ =(v12+v22+...+vn2)1/2
如下图所示：
单位向量
单位向量是长度等于1的向量，则向量 υ \boldsymbol{\upsilon} υ的单位向量 u \boldsymbol{u} u为任何非零向量除以该向量的长度，即：
u = υ ∥ υ ∥ \boldsymbol{u}=\frac{\boldsymbol{\upsilon}}{ \left \|\boldsymbol{\upsilon}\right\|} u=∥υ∥υ
下图为单位向量的示意图：
对于非零向量，当向量 υ \boldsymbol{\upsilon} υ垂直向量 ω \boldsymbol{\omega} ω时，它们的点积为零，即：
υ ⋅ ω = 0 \boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\omega}=0 υ⋅ω=0
可结合勾股定理进行证明。
向量夹角
设向量 υ \boldsymbol{\upsilon} υ和向量 ω \boldsymbol{\omega} ω的夹角为 θ \theta θ，当 υ ⋅ ω ! = 0 \boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\omega}!=0 υ⋅ω!=0时，会有：
{ θ 0 θ > 9 0 ∘ , υ ⋅ ω 90^{\circ}, & \boldsymbol{\upsilon} \cdot \boldsymbol{\omega}θ0υ⋅ω
